Mathématiques (Matematik) :

Question 1 :

Résolvez l'équation suivante pour $x$ : $2^{x+2} - 2^x = 12$.

Réponse correcte : $x = 2$

Solution :

On peut réécrire $2^{x+2}$ comme $2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$. En substituant cela dans l'équation, on obtient :

$4 \cdot 2^x - 2^x = 12$

$(4 - 1) \cdot 2^x = 12$

$3 \cdot 2^x = 12$

$2^x = \frac{12}{3}$

$2^x = 4$

Puisque $4 = 2^2$, nous avons $2^x = 2^2$. Par conséquent, $x = 2$.

Question 2 :

Étant donné la fonction $f(x) - f(x-1) = -x$ et $f(1) = 2$, trouvez la valeur de $f(20)$.

Réponse correcte : $f(20) = -207$

Solution :

En suivant la méthode démontrée dans la vidéo YouTube :

Pour $x = 2 : f(2) - f(1) = -2 \implies f(2) = f(1) - 2 = 2 - 2 = 0$

Pour $x = 3 : f(3) - f(2) = -3 \implies f(3) = f(2) - 3 = 0 - 3 = -3$

...

Pour $x = 20 : f(20) - f(19) = -20$

En additionnant ces équations de $x=2$ à $x=20$, nous observons que les termes intermédiaires s'annulent :

$(f(2) - f(1)) + (f(3) - f(2)) + \dots + (f(20) - f(19)) = -2 - 3 - \dots - 20$

$f(20) - f(1) = -(2 + 3 + \dots + 20)$

La somme des entiers de 2 à 20 est $\left(\sum_{i=1}^{20} i\right) - 1 = \frac{20 \times 21}{2} - 1 = 210 - 1 = 209$. Donc, $f(20) - f(1) = -209$.

Étant donné $f(1) = 2$, nous avons $f(20) - 2 = -209$. Par conséquent, $f(20) = -209 + 2 = -207$.

Question 3 :

Simplifiez l'expression : $\frac{2^{3x} \cdot 4^{x-1}}{8^x}$.

Réponse correcte : $\frac{1}{2}$

Solution :

On peut exprimer 4 et 8 comme des puissances de 2 : $4 = 2^2$ et $8 = 2^3$. Substituez-les dans l'expression :

$\frac{2^{3x} \cdot (2^2)^{x-1}}{(2^3)^x} = \frac{2^{3x} \cdot 2^{2(x-1)}}{2^{3x}} = \frac{2^{3x} \cdot 2^{2x-2}}{2^{3x}}$

En utilisant la règle $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ pour le numérateur :

$\frac{2^{3x + (2x-2)}}{2^{3x}} = \frac{2^{5x-2}}{2^{3x}}$

En utilisant la règle $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ :

$2^{(5x-2) - 3x} = 2^{2x-2}$

Enfin, $\frac{1}{2}$.

Logic (Logique) :

Question 1 :

Quelle figure doit remplacer le point d’interrogation dans la séquence suivante ?

[Imaginez une séquence de figures ici : par exemple, un carré, un cercle, un triangle, un carré, un cercle, ?]

Réponse correcte : Pentagone (5 côtés)

Solution :

La séquence suit un modèle basé sur le nombre de côtés des polygones, augmentant de un à chaque étape et redémarrant après l’hexagone : 3, 4, 5, 6, 3, 4. La prochaine figure dans la séquence doit avoir 5 côtés, ce qui est un pentagone.

Question 2 :

Si chaque lettre est codée avec un chiffre différent, et étant donné que "KALE" correspond à 1278 et "ELMA" correspond à 8752, quel nombre correspond à "LAME" ?

Réponse correcte : 2758

Solution :

De "KALE" = 1278, nous avons : K = 1, A = 2, L = 7, E = 8

De "ELMA" = 8752, nous avons : E = 8, L = 7, M = 5, A = 2

En combinant les informations, nous avons : L = 7, A = 2, M = 5, E = 8

Par conséquent, "LAME" correspond au nombre 7258.

Question 3 :

Les trois balances ci-dessous sont équilibrées. Que doit remplacer le point d’interrogation dans la troisième balance ?

[Imaginez trois balances équilibrées : Balance 1 : Un carré à gauche, un cercle à droite. Balance 2 : Un cercle et un triangle à gauche, deux carrés à droite. Balance 3 : Un carré et un triangle à gauche, ? à droite.]

Réponse correcte : Deux cercles

Solution :

De la Balance 1, nous savons que 1 carré = 1 cercle.

De la Balance 2, nous savons que 1 cercle + 1 triangle = 2 carrés. Puisque 1 carré = 1 cercle, nous pouvons substituer :

1 cercle + 1 triangle = 2 cercles

Donc, 1 triangle = 1 cercle.

Considérons maintenant la Balance 3 : 1 carré + 1 triangle = ?

En substituant les équivalences trouvées :

1 cercle + 1 cercle = 2 cercles

Ainsi, le point d’interrogation doit être remplacé par deux cercles.

Géométrie (Geometri) :

Question 1 :

[Imaginez un triangle rectangle ABC, avec l’angle droit en B. AB = 3 cm, BC = 4 cm. Quelle est la longueur de AC ?]

Réponse correcte : 5 cm

Solution :

Ceci est un triangle rectangle, donc nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore : $a^2 + b^2 = c^2$, où $c$ est l’hypoténuse (le côté opposé à l’angle droit).

Dans ce cas, $AB^2 + BC^2 = AC^2$.

$3^2 + 4^2 = AC^2$

$9 + 16 = AC^2$

$25 = AC^2$

En prenant la racine carrée des deux côtés, nous obtenons $AC = 5$ cm (puisque la longueur ne peut pas être négative).

Question 2 :

[Imaginez trois balances équilibrées : Balance I : Un cercle à gauche équilibre un carré à droite. Balance II : Un carré à gauche et un triangle à droite équilibrent deux cercles à droite. Balance III : Un carré et un triangle à gauche équilibrent un cercle et un ? à droite.]

Réponse correcte : Un carré

Solution :

De la Balance I : Cercle (O) = Carré (S)

De la Balance II : S + Triangle (T) = 2O

Substituons S = O :

O + T = 2O

Donc, T = O

Considérons maintenant la Balance III : S + T = O + ?

Substituons S = O et T = O :

O + O = O + ?

2O = O + ?

Par conséquent, ? = O

Puisque O = S, le point d’interrogation doit être remplacé par un carré.

Question 3 :

[Imaginez un triangle équilatéral ABC. Si un côté du triangle mesure 8 unités, quelle est la périmètre du triangle ?]

Réponse correcte : 24 unités

Solution :

Un triangle équilatéral a ses trois côtés égaux en longueur. Étant donné qu’un côté mesure 8 unités, les trois côtés mesurent chacun 8 unités.

Le périmètre d’un triangle est la somme des longueurs de ses trois côtés.

Périmètre = Côté 1 + Côté 2 + Côté 3 = 8 + 8 + 8 = 24 unités.